经典傻逼题

Description

这是一道经典傻逼题,对经典题很熟悉的人也不要激动,希望大家不要傻逼。
考虑一张N个点的带权无向图,点的编号为1到N。 对于图中的任意一个点集(可以为空或者全集),所有恰好有一个端点在这个点集中的边组成的集合被称为割。 一个割的权值被定义为所有在这个割上的边的异或和。

一开始这张图是空图,现在,考虑给这张无向图不断的加边,加入每条边之后,你都要求出当前权值最大的割的权值, 注意加入的边永远都不会消失。

Input

输入的第一行包括一个数ID表示数据编号, 如第一组数据中的ID = 1。注意样例数据中的ID = 0。
接下来的第一行包括两个整数N,M表示图的点数和总共加的边。
接下来M行,每行三个正整数x,y,w表示在点x和点y之间加入一条权值为w的边。
注意x和y可能相同,两条不同的边也可能连接了同一对点。

此外, w将以二进制形式从高位向低位给出,比如, 6 = 110(2),因此如果边
权为 6,那么w将会是110。
$1\leq N\leq 500,1 \leq M \leq 1000$, $0 \leq L \leq 1000$, $1 \leq x,y \leq N$

Output

输出M行,按顺序输出每一条边加入之后权值最大的割的权值。
同样,你也要以二进制形式输出,形式和输入格式中描述的形式一样。

Sample Input

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0 3
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1 2 1
1 2 1
3 3 111
1 3 101101
1 2 1011
2 3 111011

Sample Output

1
2
3
4
1 0 0
101101
101101
110000

HINT

前三条边加入之后的答案较为显然,考虑后三条边,加入第六条边之前, 考

虑点集${1,2}$,它对应的割只有第四条边, 因此答案就是第四条边的权值,考虑加

入最后一条边以后的情况,此时点集${1,2}$对应的割变成了第四条边和第六条边组

成的集合,权值也发生了相应的改变。 点集${2}$对应的割是第五条边和第六条边

组成的集合, 可以证明这就是权值最大的割,权值为$1011(2)$xor$111011(2) =110000(2)$

Solution

考虑这个”割”的限制貌似并不是很好做,把边放到点上,每次选出一些点集。对于一条边,如果一条边的两个端点都在选出的点集中,那么在异或中就会被抵消掉,相当于没有选。每次选择一个点,相当于选择了和它相连的所有边,这个点的权值就是和它相接的所有边的异或和。

那么问题变成了每次选择一个点集,每个点有一个权值,使得选出的点的异或和做大。

这样是一个裸的线性基模板题。但是每次暴力去跑复杂度为$O(mnl^2)$显然不对。

然后那个异或可以bitset搞一下就是$O(\frac{mnl^2}{w})$,这样电脑跑的快就可以过了

比较好理解的是一个线段树分治的离线做法。对于每个点的固定的一个权值,存在于图中的时间是一个连续的区间,对于$m$次修改,可以把这个权值打到线段树上面对应的$log$个节点上去,但这个时候并不下传,具体来说就是线段树上的每一个节点开一个std::vector存一下这个区间上的所有。

那么现在线段树上每个点维护的是一个区间的bitset的集合,我们想知道答案就最后在线段树上dfs一下,访问每一个点的时候加入当前dfs的基中,到叶子节点的时候在基中取max就是答案。

正解很短但是比较神仙,傻逼不太会,先坑着。

PS: 由于本傻逼考场上没想到有bitset这个东西结果还手打了一个二进制高精度。(傻逼不仅啥都不会傻逼题就更不会了)

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IL inline
IL int read() {
char ch = getchar(); int u = 0, f = 1;
while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { u = (u << 1) + (u << 3) + ch - 48; ch = getchar(); }
return u * f;
}
IL int read2() {
char ch = getchar(); int u = 0, f = 1;
while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { u = (u << 1) + ch - 48; ch = getchar(); }
return u * f;
}
#define rep(i, j, k) for (int i = j; i <= k; ++i)
#define repd(i, j, k) for (int i = j; i >= k; --i)

typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 10;
int val[maxn], n, m, id, vis[maxn];
int L;

namespace BF {
namespace subtask2 {
class my2 {
public:
unsigned long long len[16]; int cd;
my2() { memset(len, 0, sizeof len); cd = 0; }
void init (char *a, int n) {
cd = (n - 1) / 64;
rep(i, 0, n - 1) len[(n - i - 1) / 64] |= (unsigned long long)(a[i] - '0') << ((n - i - 1) & 63);
}
void operator = (const my2 rhs) { memcpy(len,rhs.len,sizeof len); cd = rhs.cd; }
void operator = (int x) {
memset(len, 0, sizeof (len));
cd = 0;
}
bool operator < (const my2 rhs) {
if (cd != rhs.cd) return cd < rhs.cd;
repd(i, cd, 0) if (len[i] != rhs.len[i]) return len[i] < rhs.len[i];
return false;
}
my2 operator ^ (const my2 rhs) const {
my2 rtn;
rtn.cd = max(cd, rhs.cd);
rep(i, 0, rtn.cd) rtn.len[i] = len[i] ^ rhs.len[i];
while (rtn.cd && rtn.len[rtn.cd] == 0) rtn.cd--;
return rtn;
}
void Xor (const my2 rhs) {
cd = max(cd, rhs.cd);
rep(i, 0, cd) len[i] = len[i] ^ rhs.len[i];
while (cd && len[cd] == 0) cd--;
}
void p32(unsigned long long x,bool f1) {
int b=1;
repd(i, 63, 0) if(x&(1ull<<i))putchar('1'),f1=1; else if(f1)putchar('0');
}
void print() {
if (cd == 0 && len[0] == 0) { puts("0"); return; }
repd(i, cd, 0) p32(len[i],(i!=cd));
printf("\n");
}
void update(const my2 rhs) {
int nw=max(cd,rhs.cd);
repd(i, nw, 0) if(len[i]&&rhs.len[i]) return;
else if(!len[i]&&rhs.len[i]) break;
cd=max(cd,rhs.cd);
repd(i,cd,0) len[i]=len[i]^rhs.len[i];
}
}val[505];
namespace LineBase {
my2 a[1005];
int main(my2 *b, int n) {
rep(i, 0, min(L * 64,1000)) a[i] = 0;
rep (i, 1, n) {
if(!b[i].cd&&b[i].len[0]==0)continue;
my2 tmp = b[i];
repd (j, tmp.cd, 0) {
repd(bi, 63, 0) {
if (tmp.len[j]>>bi&1ull) {
if (a[(j<<6)|bi].cd == 0 && a[(j<<6)|bi].len[0] == 0) a[(j<<6)|bi] = tmp;
tmp.Xor(a[(j<<6)|bi]);
}
}
}
}
my2 ans; ans = 0;
repd (j, min(L * 64,1000), 0) {
if (ans < (ans ^ a[j])) ans.Xor(a[j]);
} ans.print();
return 0;
}
int ins(int i,int P) {
my2 tmp = val[i];
repd (j, tmp.cd, 0) {
repd(bi, 63, 0) {
if (tmp.len[j]>>bi&1ull) {
if (a[(j<<6)|bi].cd == 0 && a[(j<<6)|bi].len[0] == 0) a[(j<<6)|bi] = tmp;
tmp.Xor(a[(j<<6)|bi]);
}
}
}
my2 ans; ans = 0;
repd (j, min(L * 64,1000), 0) {
if (ans < (ans ^ a[j])) ans.Xor(a[j]);
// ans.update(a[j]);
} if(P) ans.print();
}
}
char temp[1005];
IL void work() {
rep(i, 1, m) {
int x = read(), y = read();
scanf("%s", temp); int lent = strlen(temp);
my2 qwq;
qwq.init(temp, lent);
val[x].Xor(qwq);
val[y].Xor(qwq);
// cerr<<"---\n";
// val[x].print(); val[y].print();
if (id != 4 && id != 5) LineBase::main(val, n);
else LineBase::ins(x,0),LineBase::ins(y,1);
}
}
}
}

namespace SEG {
const int maxn = 1005;
class my2 {
public:
unsigned long long len[16]; int cd;
my2() { memset(len, 0, sizeof len); cd = 0; }
void init (char *a, int n) {
cd = (n - 1) / 64;
rep(i, 0, n - 1) len[(n - i - 1) / 64] |= (unsigned long long)(a[i] - '0') << ((n - i - 1) & 63);
}
void operator = (const my2 rhs) { memcpy(len,rhs.len,sizeof len); cd = rhs.cd; }
void operator = (int x) {
memset(len, 0, sizeof (len));
cd = 0;
}
bool operator < (const my2 rhs) {
if (cd != rhs.cd) return cd < rhs.cd;
repd(i, cd, 0) if (len[i] != rhs.len[i]) return len[i] < rhs.len[i];
return false;
}
my2 operator ^ (const my2 rhs) const {
my2 rtn;
rtn.cd = max(cd, rhs.cd);
rep(i, 0, rtn.cd) rtn.len[i] = len[i] ^ rhs.len[i];
while (rtn.cd && rtn.len[rtn.cd] == 0) rtn.cd--;
return rtn;
}
void Xor (const my2 rhs) {
cd = max(cd, rhs.cd);
rep(i, 0, cd) len[i] = len[i] ^ rhs.len[i];
while (cd && len[cd] == 0) cd--;
}
void p64(unsigned long long x,bool f1) {
int b=1;
repd(i, 63, 0) if(x&(1ull<<i))putchar('1'),f1=1; else if(f1)putchar('0');
}
void print() {
if (cd == 0 && len[0] == 0) { puts("0"); return; }
repd(i, cd, 0) p64(len[i],(i!=cd));
printf("\n");
}
IL bool count() { return (cd || len[0]); }
void update(const my2 rhs) {
int nw=max(cd,rhs.cd);
repd(i, nw, 0) if(len[i]&&rhs.len[i]) return;
else if(!len[i]&&rhs.len[i]) break;
cd=max(cd,rhs.cd);
repd(i,cd,0) len[i]=len[i]^rhs.len[i];
}
}val[505];
class Lb {
public:
my2 a[1005];
void push_back(my2 inx) {
repd (j, inx.cd, 0) {
repd(bi, 63, 0) {
if (inx.len[j]>>bi&1ull) {
if (a[(j<<6)|bi].cd == 0 && a[(j<<6)|bi].len[0] == 0) a[(j<<6)|bi] = inx;
inx.Xor(a[(j<<6)|bi]);
}
}
}
}
my2 queryMax() {
my2 ans; ans = 0;
repd (j, min(1000,L*64), 0) if (ans < (ans ^ a[j])) ans.Xor(a[j]);
return ans;
}
};

vector<my2>sgt[maxn << 2];
char s[maxn]; int lst[maxn];
#define ls (p << 1)
#define rs (p << 1 | 1)
void modify(int p, int x, int y, int l, int r, my2 qwq) {
if (x == l && y == r) {
sgt[p].push_back(qwq);
return;
} int mid = (x + y) >> 1;
if (r <= mid) modify(ls, x, mid, l, r, qwq);
else if (l > mid) modify(rs, mid + 1, y, l, r, qwq);
else modify(ls, x, mid, l, mid, qwq), modify(rs, mid + 1, y, mid + 1, r, qwq);
}
void dfs(int p, Lb &cur, int x, int y) {
Lb temp = cur;
for (int i = 0; i < sgt[p].size(); ++i) {
temp.push_back(sgt[p][i]);
}
if (x == y) temp.queryMax().print();
else dfs(ls, temp, x, (x + y) >> 1), dfs(rs, temp, ((x + y) >> 1) + 1, y);
}
IL void work() {
rep(i, 1, m) {
int x = read(), y = read();
scanf("%s", s);
my2 qwq;
qwq.init(s, strlen(s));
if (lst[x]) modify(1, 1, m, lst[x], i - 1, val[x]);
if (lst[y]) modify(1, 1, m, lst[y], i - 1, val[y]);
val[y].Xor(qwq); val[x].Xor(qwq);
lst[x] = lst[y] = i;
}
rep(i, 1, n) if (lst[i]) { modify(1, 1, m, lst[i], m, val[i]); }
Lb temp;
dfs(1, temp, 1, m);
}
}

int Lp[20] = {1000, 32, 32, 100, 1000, 1000, 300, 300, 1000, 1000, 1000};
int main() {
// freopen("shabiti.in", "r", stdin);
// freopen("shabiti.out", "w", stdout);
id = read();
L = Lp[id] + 3; L /= 64; L++;
n = read(), m = read();
//BF::subtask2::work();
SEG::work();
return 0;
}